Математика как наука

Я думаю, подходы Гильберта в какой-то степени можно реабилитировть, правда для этого надо усовершенствовать сами методы формализации. Мне кажется, формальные методы (оказавшиеся на самом деле столь плодотворными в ХХ веке) себя еще далеко не исчерпали.

ВЫБРАЛ:

- Наука, объективно изучающая реальную действительность

Сам изучаю природу с её помощью!

(alim @ 13.04.2006 - время: 17:01) Вообще-то широкое распространение получили три подхода к математики ( если не сказать три различных вида математики): логицизм, интуиционизм и формализм.
Это уже давно не так. Заявляю это с полной ответственностью, как человек, занимающийся чистой математикой. Это только в философии математики так считается. Сам знаю, сдавал кандидатский минимум.

Могу сказать так. Каждый математик занимается своей областью и знает зачем он это делает. Его чаще всего не очень-то волнует как ко всему этому относится философия. А философы пытаются ответить на такие вопросы как "зачем?" не обладая при этом практически никакими знания о реальном состоянии дел в математике. Теорема Гёделя это цветочки с теми проблемами, которые в данный момент существуют в формальной математике. И об этой теореме никто не задумывается. Если о ней думать, то можно свихнуться. Ибо из нее следует, что заранее нельзя узнать доказуем факт или нет. Математики об этом не думают! Математики просто занимаются интересным для них делом и радуются, когда оказывается, что то что они делают кому-то пригодилось (пусть даже другому математику). Радует все же, что огромное количество математических результатов находят применение в новых науках, таких как сложность вычислений, теория алгоритмов и т. д. Не будь математики вы бы сейчас не сидели за компьютером и не читали этот пост. Конечно, человечество и без компов жило не плохо...

А основная проблема современной математики состоит в проверке полученных результатов. Если доказательство серьёзной теоремы излагается менее чем на 500 страницах --- это удача. Не очень-то много математиков разбираются при этом в теме на столько, чтобы проверить это доказательство. Но те, кто не разбираются верят на слово тем, кто разбирается. Почему? Да потому, что им эти результаты никогда не пригодятся, а тем кому пригодятся все равно придется разбираться в доказательстве.

Вот. Я не голосовал. Как-то не смог выбрать ответ.

Советую прекрасную книгу (художетсвенную). Апостолос Доксиадис "Проблема Гольдбаха". Книга об одном математике. Очень граматно написана (Лучше чем Код Да Винчи :))). Там показаны некоторые проблемы математики, как таковой.

Ф.

Слушай, Ted_dy, а ты в каком разделе математики специализируешься?

Функциональный анализ

Ф.

Для меня математика - это не наука, это искусство. Она прекрасна во всех своих проявлениях и совершенна даже в недостатках. Очень напоминает музыку в формулах. Каждый ее раздел для меня казался приключенческим романом. Шикарно прокачивает ум, делая его гибким и острым. Жаль, что забросила ей заниматься 2 года назад. Наверное возобновлю через полгода.

С помощью математики многое можно объяснить, понять, изучать, без неё никуда, вся наша жизнь зависит от неё, хотим мы этого или нет, без математики мир просто рухнет.

Гиббс когда-то хорошо сказал, что "Математика - это язык", и по-моему это лучшее определение.

Парадокс в том, что любая качественная математическая игрушка рано или поздно находит свое применение. Известный вопрос: почему оснавная масса физических моделей основана на линейных диф.уравнениях/системах?

Интересный вопрос... Просто так получается, что физики смотрят на систему, а потом следят как она меняется. Потом говорят что все изменения малы и пренебрегают половиной)) И вот когда смотрят на изменения как раз и приходится оперировать с производными. На мой взгляд по этому..

Скорее все же потому, что линейный диффуры можно решить:)) да и линейное приближение все же хорошо описывает ситуацию.

Вот зато я знаю экономический смысл пятой производной:
скорость увеличения темпов роста производительности труда. Куда тут без математики:))

Ф.

Ted_dy: почти правильно: именно потому что мы хорошо их умеем решать.

Научный подход основан на притаскивании вещей под фонарь.
Математика - это фонарь ("орудие труда исследователя"). Прогресс в орудиях труда приводит к прогрессу в тех местах где достигнутые достижения находят применение. И мы видим какие скачки происходят когда удается прикрутить новый подход к задаче. А новый подход - это очень часто новая для данной задачи математика.

Не значит что математика - "не наука", она вполне отвечает Энгльсовскому определению науки (вспомните кто может "Диалектику природы" ), но ее роль специфична. Кстати если серьезно, то не уникальна, т.е. скажем прогресс в части из естественных наук может быть тоже апосредственно использован.

Cогласен с smm (сразу видно, что наш человек:) ). Лишь добавлю, что математика, несмотря на то, что возникла как наука для удовлетворения практических нужд человека, тем не на сегодняшний день может существовать и активно развиваться независимо от ее прикладного значения, что и показывает жизнь.

Вот интересная статейка почти по теме: СМОТРЕТЬ

(Devourer @ 29.05.2006 - время: 21:25) Вот интересная статейка почти по теме: СМОТРЕТЬ
Какая глупость!

Ф.

Объяснись. Не то чтобы я был согласен с этой статьёй - мне интересно чужое мнение.

(Devourer @ 30.05.2006 - время: 09:27) Объяснись. Не то чтобы я был согласен с этой статьёй - мне интересно чужое мнение.
Кажется, автору статьи нечем заняться. Он подменяет вопрос о математических понятиях, вопросом о физических понятиях. В математических понятия, действительно, не всегда есть ясность и над этой неяностью математики работают. Например, теории банаховых пространств уже давно назрела необходимость нового понятия, типа топологической размерности, чтобы пространства можно было отличать друг от друга. Так этим упорно занимаются. Что касается физических понятий, типа волна и диффузия, то любое математическое определение будет лишь модельным и описывать свойства физического объекта, величины лишь приближённо. Так обстоит дело со всеми физическими понятиями: не так ли? Исключения, быть может, составляет квантовая механика, так это ведь раздел математики... по крайней мере до тех пор, пока из него не пытаются сделать физические выводы. А как только пытаются, сразу встает вопрос, а причем это тут спектр оператора. Энергия? А что такое энергия? Где же это математическое определение энергии? А вот это оно и есть: спектр оператора!

То же самое с доказательствами. Математические курсы всегда отличаются строгостью изложенного материала. И там слово "доказательство" -- не пустой звук. Менее строгими являются курсы физики. И это объяснимо, поскольку физические теоремы лишь пытаются описать происходящее вокруг, принимая некоторые вещи, как само собой разумеющееся. Это физики придумывают определения для понятий физики, чтобы они были достаточно строгими и ими можно было пользоваться в доказательствах. Естественно с течением времени определения физических понятий будет трансформироваться. Это не определение производной, которое как есть так и есть и может лишь обретать новую форму, благодаря появляющейся новой терминологии.

Ну еще он там пишет о мельчании математической общественности, видимо, имея ввиду себя...

Все это мне напомнило случай со знакомым моего научного руководителя на кандидатском экзамене по философии: его преподаватель спросил, все ли математические понятия имеют хотя бы отдаленное отношение к нашему реальному миру. Тот задумался (он был с кафедры геометрии и начал думать о разнообразных кокасательных расслоениях, да о когомологиях де Рама) и в результате ответил, что с всё же видимо все понятия имеют некоторое отражение в реальной жизни. "Ну, как же!" -- сказал профессор, -- "А комплексные числа? Они же МНИМЫЕ!"

Ф.

(Ted_dy @ 14.05.2006 - время: 00:07) (alim @ 13.04.2006 - время: 17:01) Вообще-то широкое распространение получили три подхода к математики ( если не сказать три различных вида математики): логицизм, интуиционизм и формализм.
Это уже давно не так. Заявляю это с полной ответственностью, как человек, занимающийся чистой математикой. Это только в философии математики так считается. Сам знаю, сдавал кандидатский минимум.

Могу сказать так. Каждый математик занимается своей областью и знает зачем он это делает. Его чаще всего не очень-то волнует как ко всему этому относится философия. А философы пытаются ответить на такие вопросы как "зачем?" не обладая при этом практически никакими знания о реальном состоянии дел в математике. Теорема Гёделя это цветочки с теми проблемами, которые в данный момент существуют в формальной математике. И об этой теореме никто не задумывается. Если о ней думать, то можно свихнуться. Ибо из нее следует, что заранее нельзя узнать доказуем факт или нет. Математики об этом не думают! Математики просто занимаются интересным для них делом и радуются, когда оказывается, что то что они делают кому-то пригодилось (пусть даже другому математику). Радует все же, что огромное количество математических результатов находят применение в новых науках, таких как сложность вычислений, теория алгоритмов и т. д. Не будь математики вы бы сейчас не сидели за компьютером и не читали этот пост. Конечно, человечество и без компов жило не плохо...

А основная проблема современной математики состоит в проверке полученных результатов. Если доказательство серьёзной теоремы излагается менее чем на 500 страницах --- это удача. Не очень-то много математиков разбираются при этом в теме на столько, чтобы проверить это доказательство. Но те, кто не разбираются верят на слово тем, кто разбирается. Почему? Да потому, что им эти результаты никогда не пригодятся, а тем кому пригодятся все равно придется разбираться в доказательстве.

Вот. Я не голосовал. Как-то не смог выбрать ответ.

Советую прекрасную книгу (художетсвенную). Апостолос Доксиадис "Проблема Гольдбаха". Книга об одном математике. Очень граматно написана (Лучше чем Код Да Винчи :))). Там показаны некоторые проблемы математики, как таковой.

Ф.
Вот действительно позиция большинства практических математиков! Но мы здесь обсуждаем именно философию математики а не собственно внутренние проблемы математики! Кстати, какие именно проблемы формальной математики Вы считаете актуальны сегодня? Хтоелось бы по подробнее в этом месте(просто интересно..)

Так я вроде бы написал, а Вы даже процитировали. В ВЕРИФИКАЦИИ полученных результатов. Это вполне философский термин? Это общая проблема для всей математики вцелом.

А я-то как раз думал, что обсуждается не философский вопрос, а спрашивается мнение. И отвечал с позиции математика, а не с позиции философа.

Ф.

Все описанное выше сильно напоминает байку про мудрецов, которым завязали глаза и дали потрогать слона - кому хобот, кому ногу, кому...(в виду специфики форума углубляться не будем)... Каждый из присутствующих здесь видит свою математику и о ней рассуждает. Но современную математику нельзя считать единой наукой, между вычислительной математикой и современной алгеброй пропасть больше, чем была в Д. Греции между всеми науками вообще - они, собственно тогда и были одной наукой.

(niktuba @ 31.05.2006 - время: 01:12) Но современную математику нельзя считать единой наукой, между вычислительной математикой и современной алгеброй пропасть больше, чем была в Д. Греции между всеми науками вообще - они, собственно тогда и были одной наукой.
Это довольно странный аргумент. Такая же пропасть между термодинамикой и электродинамикой. Вас это не смущает? Это разделы физики и к ним применимы одинаковые рассуждения, как к разделам физики. И уверяю вас, что большинство исследований и открытий лежат как раз на границе областей. По крайней мере в данный момент.

Ф.