Математические софизмы

Может как-то повязано на то, что линия получается не гладкой в любом случае. а длина это какой-нидь там ...хрен знает... диференциал и он не берется в пределе..

(Zorgint @ 11.12.2005 - время: 19:25) Может как-то повязано на то, что линия получается не гладкой в любом случае. а длина это какой-нидь там ...хрен знает... диференциал и он не берется в пределе..
Как мне объяснял один препод: результат этих рассуждений заключается не в равенстве длин, а в равенстве количества точек.
Но сейчас я сам думаю, что ломаная в прямую перейти не может. Ведь на каждом шаге у нас остаётся множество точек, не принадлежащих прямой, и это множество имеет мощность континуума, т.е. именно оно является носителем метрических свойств нашей ломаной.

к счастью я не математик, но могу как физик с уверенностью сказать: "нутром чую, косяк какой-то" )))

Вот один интересный парадокс, который можно считать и софизмом.
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (см. рис.).
Будем проводить с ним действия, смысл которых виден из рисунка, а именно:
как бы "отражать" вернюю половину треугольника вниз.
Очевидно, что AB+Bc=A(B1)+(B1)(X1)+(X1)(B2)+(B2)C=...
Т.е. длина ломаной A(B1)(X1)(B2)(X2)...(Xn-1)(Bn)C=AB+BC
Но, переходя к бесконечному пределу, получим что ломаная совпадёт с AC.
Отсюда следует, что длина AC равна длине AB+BC.
Элементарной математикой можно показать следующее:
1) рассмотрим угол у основания равнобедренного треугольника. Пусть он равен а;
2) пусть длина стороны равна Х;
3) тогда длина основания всегда равна 2*Х*cosa (можете проверить это сами - при любом количестве делений треугольника получим что основание всегда равно 2*Х*cosa)
Это показывает очень сильную сомнительность вывода, предложенного в исходной задаче. И дает надежды на строгое доказательство.

Далее рассмотрим множества точек, составляющих основание и сумму сторон треугольников:
1) очевидно, что множество точек суммы сторон треугольников заведомо мощнее множества точек основания в (1/cosa) раз, хотя (безусловно) оба множества обладают мощностью континуума.
Таким образом получаем, что предельный переход солгал нам: мощности множеств рзличны, а длина линий получаются одинаковыми. Вопрос задачи теперь сводится к следующему: справедливо ли здесь применение предельного перехода? Думаю, что нет. Смотрите сами:
Если исходный треугольник (АВС) не делить, получим, что сумма длин его боковых сторон равна 2*Х
Если поделить его, получим, что длина одной боковой стороны треугольника А(В1)(Х1) составляет Х/2, количество таких сторон стало равным 4.
Делим далее, и для n случаев деления получаем, что длина боковой стороны равна (Х/2^n), количество же таких сторон равно 2^(n+1).
Теперь САМОЕ ИНТЕРЕСНОЕ:
ошибка автора состоит в том, что он берет предел lim (Х/2^n)*2^(n+1) по переменной n (она стремится к бесконечности).
Однако поступать так здесь нельзя: выражение необходимо упростить, и мы получим, что он равно 2*Х. А здесь предел брать по переменной уже нельзя: нет ни функции, ни последовательности. Есть константа, и на этот случай теория предела в общем смысле неприменима. Поэтому предельный переход по переменной n здесь принципиально невозможен. Следовательно, first прав. А софизм действительно интересный. Наверное, парадоксом его назвать нельзя, потому что все сводится к ошибке операции.
Я в "своих" рассуждениях сделал "неправильный" переход, из-за чего и был получен результат противоречащий истине (длина AB+BC равна длине AC). Где?
ЗЫ: Элементарной математикой, к сожалению, не обойтись...
с этим мы разобрались...
Как мне объяснял один препод: результат этих рассуждений заключается не в равенстве длин, а в равенстве количества точек.
Но сейчас я сам думаю, что ломаная в прямую перейти не может. Ведь на каждом шаге у нас остаётся множество точек, не принадлежащих прямой, и это множество имеет мощность континуума, т.е. именно оно является носителем метрических свойств нашей ломаной.
Думаю, что это один из вариантов, но вариант нестрогий. скорее всего, рассуждать надо именно из теории предельного перехода.

Хочу заметить, что МОЩНОСТИ множеств действительно РАВНЫ.
Кроме того, предел от константы брать можно.

(Yellowrose @ 08.12.2005 - время: 18:03) (Zorgint @ 08.12.2005 - время: 15:23) А вы помните софизм об Ахилесе и черепашке? Что Ахил никогда ту не догонит?
Помним))


А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведём в нём биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки о опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ЩУ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и OD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому РDAO=РECO. В то же время РОАС=РОСА, так как треугольник АОС- равнобедренный. Получаем: РВАС=РDAO+РOAC=РECO+РOCA=РBCA.
Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС – равнобедренный: АВ=ВС.

з.ы. Р- это угол


Так, так:) давайте-ка теперь вот этот разберём

Точка О лежит вне треугольника.

А доказать это сможешь? строго))))

(Zorgint @ 12.12.2005 - время: 21:20) А доказать это сможешь? строго))))
Неохота писать...
Но доказательство основано на известном свойстве треугольника, что отрезки отсекаемые биссектрисой на стороне относятся как две другие стороны. ИМХО

(Yellowrose @ 08.12.2005 - время: 18:03) Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведём в нём биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС.
Где на рисунке серединный перпендикуляр к стороне АС? И каким образом он участвует в рассуждении.

Биссектриса угла В и серединный перпендикуляр к АС совпадают в равнобедренном треугольнике.

Хочу заметить, что МОЩНОСТИ множеств действительно РАВНЫ.
Кроме того, предел от константы брать можно.

Позволю справку: мощность множества в анализе - аналогичное количеству элементов понятие, определяемое абстрактно. Мощности двух множеств равны тогда и только тогда, когда между ними можно задать взаимно однозначное соответствие (смотрите матан Садовничего или других авторов). Пояснения, я думаю, после этого излишни.
Таким образом, коль скоро вы говорите, что на ломаной существует множество точек (каждое из которых имеет все ту же мощность континуума), не принадлежащее прямой, эти множества неравномощны. Однако они оба имеют мощность континуума.
Предел от константы брать можно, с этим спорить нет смысла. Пределом будет эта же константа. НО: применение предельного перехода здесь не дает абсолютно никаких результатов. Мы можем взять предел от константы на случай, когда исходный треугольник поделили один раз. потом два, потом n, но результат останется прежним. совершенно понятно, что в данном случае мы берем предел не по переменной, стремящейся в бесконечности, а по константе. Поэтому условие предельного перехода, редложенное Вами в задаче, неверно.

Мощности множеств равны, если НАЙДЁТСЯ биекция между ними (т.е. взаимно однозначное отображение). И в нашем случае оно найдётся. Вообще это известный результат, что мощности любых отрезков и их объединений равны континууму и равны между собой. Кроме того континууму равна мощность и любой декартовой степени множества действительных чисел. Это кажется невероятным, но на плоскости и на отрезке одинаковое количество точек.

Кста, вот ещё в коллекцию :

Любое число равно его половине

Возьмём два равных числа а и b, a=b. Обе части этого равенства умножим на а, затем вычтем из произведения по b2 : Получим: a2 - b2 = a b - b2, или (a + b) (a - b) = b (a - b). Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a. Значит, 2 a = a, или a = a/2.

На a-b сокращать нельзя, т.к. по нашему предположению a=b и следовательно a-b=0

(Devourer @ 13.12.2005 - время: 09:26) Мощности множеств равны, если НАЙДЁТСЯ биекция между ними (т.е. взаимно однозначное отображение). И в нашем случае оно найдётся. Вообще это известный результат, что мощности любых отрезков и их объединений равны континууму и равны между собой. Кроме того континууму равна мощность и любой декартовой степени множества действительных чисел. Это кажется невероятным, но на плоскости и на отрезке одинаковое количество точек.
Признаю, согрешил.
Еще подумал над этим софизмом:
если длину боковой стороны треугольника, полученного при n-ом делении исходного обозначим за a(n), то сумма длин боковых сторон (то есть рассматриваемая ломаная) при делении исходного треугольника на n будет равна 2*а(n)*n. Далее, половина основания треугольника, полученного при делении исходного на n пусть будет b(n), тогда длина основания исходного треугольника равна 2*b(n)*n.
Теперь мы можем перейти к рассмотрению случая, когда n->oo (это бесконечность такая ), само собою при этом а и b стремятся к нулю:
2*lim a(n)*n
--------------------------------
2*lim b(n)*n

Сами пределы мы не посчитаем, однако их отношение всегда равно 1/cosA - угла, лежащего при основании равобедренного треугольника. Отсюда делаем вывод, что даже при переходе к пределу по бесконечности мы не имеем равенства указанных длин.
Что думаете?

Это уже лучше. Тут ты рассматриваешь задачу с аналитической точки зрения.
С другой стороны, как я уже и писал, некоторые точки (даже очень много) не перейдут на отрезок, что и подтверждается твоим результатом.

Конечно аналитическое решение надёжнее.

вот блин, а я подобным способом хотел это опровергнуть, но не ввел все эти а(n) и потому нифига не получилось... отличное решение!

(Yellowrose @ 12.12.2005 - время: 19:31) (Yellowrose @ 08.12.2005 - время: 18:03)
А вот «доказательство» того, что все треугольники  - равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведём в нём биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки о опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ЩУ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и OD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому РDAO=РECO. В то же время РОАС=РОСА, так как треугольник АОС- равнобедренный. Получаем: РВАС=РDAO+РOAC=РECO+РOCA=РBCA.
Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС – равнобедренный: АВ=ВС

Так, так:) давайте-ка теперь вот этот разберём
Точка О не только лежит вне треугольника (это утверждение я вроде бы доказал), но она еще и расположена так, что если опускать из нее перпендикуляры OD и OE, то одна из точек D или E будет лежать на стороне треугольника, а другая - на продолжении стороны (а вот с этим уже сложнее).
В таком случае предложенные равенства углов к результату не приведут.

Одно зерно - не куча.
Если n зёрен - не куча, то n+1 зёрен тоже не куча.
Следовательно по методу мат. индукции кучей не является никакое количество зёрен.

(Ronin @ 12.01.2006 - время: 19:52)
Точка О не только лежит вне треугольника (это утверждение я вроде бы доказал), но она еще и расположена так, что если опускать из нее перпендикуляры OD и OE, то одна из точек D или E будет лежать на стороне треугольника, а другая - на продолжении стороны (а вот с этим уже сложнее).
В таком случае предложенные равенства углов к результату не приведут.
Да, точка лежит на описанной окружности треугольника. И есть теорема, которая говорит, что основания перпендикуляров из точки на описанной окружности трекгольника на стороны треугольника лежат на одной прямой (прямая Симсона).

Ф.