Шевелим мозгами
zLoyyyy
Мастер
7/27/2007, 4:13:09 AM
(Devourer @ 26.07.2007 - время: 18:02) И придёшь к исходной задаче. Предел то неизвестен. Да и сходимость не доказана.
Ну почему? Если предел a=L, то предел b=sin (L)
Из чего следует что L=sin(L) . Единственное возможное решение : L=0.
Так как функция sin(x)-x непрерывна, то её предел совпадает с её значением
да, это верно. Но я не пойму как осуществляется переход от функции к последовательности ? Его ещё нужно обосновать... или нет ?
Да и сходимость не доказана.
Это же очевидно: монотонно убывающая функция, ограниченная снизу любым отрицательным числом.
Ну почему? Если предел a=L, то предел b=sin (L)
Из чего следует что L=sin(L) . Единственное возможное решение : L=0.
Так как функция sin(x)-x непрерывна, то её предел совпадает с её значением
да, это верно. Но я не пойму как осуществляется переход от функции к последовательности ? Его ещё нужно обосновать... или нет ?
Да и сходимость не доказана.
Это же очевидно: монотонно убывающая функция, ограниченная снизу любым отрицательным числом.
Devourer
Профессионал
7/27/2007, 4:48:08 PM
(zLoyyyy @ 27.07.2007 - время: 00:13) (Devourer @ 26.07.2007 - время: 18:02) И придёшь к исходной задаче. Предел то неизвестен. Да и сходимость не доказана.
Ну почему? Если предел a=L, то предел b=sin (L)
Из чего следует что L=sin(L) . Единственное возможное решение : L=0.
Так как функция sin(x)-x непрерывна, то её предел совпадает с её значением
да, это верно. Но я не пойму как осуществляется переход от функции к последовательности ? Его ещё нужно обосновать... или нет ?
Да и сходимость не доказана.
Это же очевидно: монотонно убывающая функция, ограниченная снизу любым отрицательным числом.
Видимо мы оба правы.
А переход осуществить легко: просто выбрать последовательность значений функции из её "непрерывного" интервала значений.
Тут вообще кто-нибудь ещё есть? Может нас прокомментируют?
Ну почему? Если предел a=L, то предел b=sin (L)
Из чего следует что L=sin(L) . Единственное возможное решение : L=0.
Так как функция sin(x)-x непрерывна, то её предел совпадает с её значением
да, это верно. Но я не пойму как осуществляется переход от функции к последовательности ? Его ещё нужно обосновать... или нет ?
Да и сходимость не доказана.
Это же очевидно: монотонно убывающая функция, ограниченная снизу любым отрицательным числом.
Видимо мы оба правы.
А переход осуществить легко: просто выбрать последовательность значений функции из её "непрерывного" интервала значений.
Тут вообще кто-нибудь ещё есть? Может нас прокомментируют?
zLoyyyy
Мастер
7/29/2007, 1:11:03 AM
(Devourer @ 27.07.2007 - время: 12:48) А переход осуществить легко: просто выбрать последовательность значений функции из её "непрерывного" интервала значений.
Я знаю что есть такой метод, основанный на определении предела по Гейне, только вот пример строгого обоснования мне не попадался.
Самому думать лень, кто бы показал...
Я знаю что есть такой метод, основанный на определении предела по Гейне, только вот пример строгого обоснования мне не попадался.
Самому думать лень, кто бы показал...
Devourer
Профессионал
7/29/2007, 1:53:52 AM
Хотел привести пример по вашему способу решения:
Пусть a(i+1)=a(i)^2. Тогда x=x^2, x1=0, x2=1. Вроде бы 2 предела. Но если а(0)=2, то ни к одному не стремится.
Пусть a(i+1)=a(i)^2. Тогда x=x^2, x1=0, x2=1. Вроде бы 2 предела. Но если а(0)=2, то ни к одному не стремится.
zLoyyyy
Мастер
7/29/2007, 2:12:15 PM
(Devourer @ 28.07.2007 - время: 21:53) Хотел привести пример по вашему способу решения:
Пусть a(i+1)=a(i)^2. Тогда x=x^2, x1=0, x2=1. Вроде бы 2 предела. Но если а(0)=2, то ни к одному не стремится.
Мой способ предполагает предварительное доказательство сходимости в этом его недостаток(или достоинство)
Пусть a(i+1)=a(i)^2. Тогда x=x^2, x1=0, x2=1. Вроде бы 2 предела. Но если а(0)=2, то ни к одному не стремится.
Мой способ предполагает предварительное доказательство сходимости в этом его недостаток(или достоинство)
Devourer
Профессионал
8/3/2007, 8:56:11 PM
Вот ещё задачка:
Известно что x+f(x)=f(f(x)) (равно в смысле тождественно равно).
Решить f(f(x))=0.
Известно что x+f(x)=f(f(x)) (равно в смысле тождественно равно).
Решить f(f(x))=0.
zLoyyyy
Мастер
8/4/2007, 6:53:14 AM
(Devourer @ 03.08.2007 - время: 16:56) Вот ещё задачка:
Известно что x+f(x)=f(f(x)) (равно в смысле тождественно равно).
Решить f(f(x))=0.
f(f(x))=0 =>
x+f(x)=0 =>
f(x) = -x
Подставляем в тождество:
x + (-x) = -(-x) => x=0
Известно что x+f(x)=f(f(x)) (равно в смысле тождественно равно).
Решить f(f(x))=0.
f(f(x))=0 =>
x+f(x)=0 =>
f(x) = -x
Подставляем в тождество:
x + (-x) = -(-x) => x=0
Devourer
Профессионал
8/4/2007, 11:34:46 PM
(zLoyyyy @ 04.08.2007 - время: 02:53) (Devourer @ 03.08.2007 - время: 16:56) Вот ещё задачка:
Известно что x+f(x)=f(f(x)) (равно в смысле тождественно равно).
Решить f(f(x))=0.
f(f(x))=0 =>
x+f(x)=0 =>
f(x) = -x
Подставляем в тождество:
x + (-x) = -(-x) => x=0
Секундочку. Подробнее:
Подставляем в тождество:
x+(-x)=f(-x)
f(-x)=0
А дальше?
Известно что x+f(x)=f(f(x)) (равно в смысле тождественно равно).
Решить f(f(x))=0.
f(f(x))=0 =>
x+f(x)=0 =>
f(x) = -x
Подставляем в тождество:
x + (-x) = -(-x) => x=0
Секундочку. Подробнее:
Подставляем в тождество:
x+(-x)=f(-x)
f(-x)=0
А дальше?
zLoyyyy
Мастер
8/5/2007, 2:33:07 PM
(Devourer @ 04.08.2007 - время: 19:34) Секундочку. Подробнее:
Подставляем в тождество:
x+(-x)=f(-x)
f(-x)=0
А дальше?
f(y) = -y, следовательно f(-x) = -(-x)=x.
f(x) - функция вычисления противоположного числа.
Подставляем в тождество:
x+(-x)=f(-x)
f(-x)=0
А дальше?
f(y) = -y, следовательно f(-x) = -(-x)=x.
f(x) - функция вычисления противоположного числа.
Devourer
Профессионал
8/5/2007, 9:48:17 PM
А вот и нет. Вы путаете равенство тождественное и обычное.
f(x)=-x выполняется не во всех точках, а только в точках удовлетворяющих f(f(x))=0, следуя вашим рассуждениям. Поэтому нельзя делать вывод что f(-x)=x. Докажите нечётность функции f(x). А ответ, кстати, правильный.
f(x)=-x выполняется не во всех точках, а только в точках удовлетворяющих f(f(x))=0, следуя вашим рассуждениям. Поэтому нельзя делать вывод что f(-x)=x. Докажите нечётность функции f(x). А ответ, кстати, правильный.
zLoyyyy
Мастер
8/6/2007, 3:12:57 AM
(Devourer @ 05.08.2007 - время: 17:48) А вот и нет. Вы путаете равенство тождественное и обычное.
Согласен. Я перемудрил.
Однако, если требуется найти только значение х . То можно рассматривать два равенства, как условие, которому может отвечать только х=0.
Совместное решение двух уравнений приводит к такому результату.
Согласен. Я перемудрил.
Однако, если требуется найти только значение х . То можно рассматривать два равенства, как условие, которому может отвечать только х=0.
Совместное решение двух уравнений приводит к такому результату.
Devourer
Профессионал
8/6/2007, 6:03:43 PM
Хорошо. Ещё одну задачку, если Вам не надоело.)
Тело Фn:{x,y,z| 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1}. Тело Ф=объединение всех Фi, i от 1 до бесконечности. Найти объём Ф.
Тело Фn:{x,y,z| 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1}. Тело Ф=объединение всех Фi, i от 1 до бесконечности. Найти объём Ф.
Ted_dy
Профессионал
8/7/2007, 3:12:25 AM
(Devourer @ 06.08.2007 - время: 14:03) Хорошо. Ещё одну задачку, если Вам не надоело.)
Тело Фn:{x,y,z| 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1}. Тело Ф=объединение всех Фi, i от 1 до бесконечности. Найти объём Ф.
Из условия следует, что если точка лежит в Ф_n то все ее координаты по модулю меньше единицы. Следовательно, из того, что точка принадлежит Ф_n следует что она принадлежит Ф_{n+1}. Значит объединение совпадает с Ф_1. Тело же Ф_1 представляет собой аффинный образ октаэдра и объем его следовательно равен 8/6*1/3*1/8=1/18. Последний шаг можно сделать иначе, заметив, что указанное тело состоит из трех прямоугольных тетраэдров.
Ф.
Тело Фn:{x,y,z| 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1}. Тело Ф=объединение всех Фi, i от 1 до бесконечности. Найти объём Ф.
Из условия следует, что если точка лежит в Ф_n то все ее координаты по модулю меньше единицы. Следовательно, из того, что точка принадлежит Ф_n следует что она принадлежит Ф_{n+1}. Значит объединение совпадает с Ф_1. Тело же Ф_1 представляет собой аффинный образ октаэдра и объем его следовательно равен 8/6*1/3*1/8=1/18. Последний шаг можно сделать иначе, заметив, что указанное тело состоит из трех прямоугольных тетраэдров.
Ф.
Devourer
Профессионал
8/7/2007, 5:33:39 PM
(Ted_dy @ 06.08.2007 - время: 23:12) Значит объединение совпадает с Ф_1.
Неа!
Неа!
Ted_dy
Профессионал
8/8/2007, 7:25:30 PM
(Devourer @ 07.08.2007 - время: 13:33) (Ted_dy @ 06.08.2007 - время: 23:12) Значит объединение совпадает с Ф_1.
Неа!
Тьфу! Наоборот с Ф_бесконечность. То есть с множеством max{x,8y,z}<1. Это параллелепипед, объём которого равен 1.
Ф.
Неа!
Тьфу! Наоборот с Ф_бесконечность. То есть с множеством max{x,8y,z}<1. Это параллелепипед, объём которого равен 1.
Ф.
Devourer
Профессионал
8/8/2007, 10:09:30 PM
(Ted_dy @ 08.08.2007 - время: 15:25) (Devourer @ 07.08.2007 - время: 13:33) (Ted_dy @ 06.08.2007 - время: 23:12) Значит объединение совпадает с Ф_1.
Неа!
Тьфу! Наоборот с Ф_бесконечность. То есть с множеством max{x,8y,z}<1. Это параллелепипед, объём которого равен 1.
Ф.
Совершенно верно. Это параллелепипед 2 на 2 на 1/4. Итого объём=1.
Если кому интересны более подробные рассуждения, то вот на примере х:
Для любой точки -1<x<1 найдётся n такое что 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1 для любых -1/8<y<1/8, -1<z<1. Для остальных же это не так. Аналогично доказывается, что y и z лежат в соответствующих интервалах.
Неа!
Тьфу! Наоборот с Ф_бесконечность. То есть с множеством max{x,8y,z}<1. Это параллелепипед, объём которого равен 1.
Ф.
Совершенно верно. Это параллелепипед 2 на 2 на 1/4. Итого объём=1.
Если кому интересны более подробные рассуждения, то вот на примере х:
Для любой точки -1<x<1 найдётся n такое что 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1 для любых -1/8<y<1/8, -1<z<1. Для остальных же это не так. Аналогично доказывается, что y и z лежат в соответствующих интервалах.
Devourer
Профессионал
8/8/2007, 10:18:57 PM
Если не надоел я вам со своей ерундой, то позвольте предложить ещё одну задачку с весьма на мой взгляд красивым решением:
Найти х, при которых функция f(x), удовлетворяющая при всех x не равном 0 и 1:
f(x)+f(1/(1-x))=x
имеет экстремумы.
Найти х, при которых функция f(x), удовлетворяющая при всех x не равном 0 и 1:
f(x)+f(1/(1-x))=x
имеет экстремумы.
Ted_dy
Профессионал
8/10/2007, 2:32:45 AM
Не знаю при чем тут экстремумы. Эту функцию можно просто найти.
f(x)+f(1/(1-x))=x
подставим 1/(1-x) вместо x, получим
f(1/(1-x))+f((x-1)/x)=1/(1-x)
полставим (x-1)/x вместо x, получим
f((x-1)/x)+f(x)=(x-1)/x
Сложим первое равенство с последним и вычтем второе, получим
2f(x)=x+(x-1)/x-1/(1-x)
Выяснять, есть ли у этой функции экстремумы мне честно говоря лень... Ну наверное есть.
Ф.
f(x)+f(1/(1-x))=x
подставим 1/(1-x) вместо x, получим
f(1/(1-x))+f((x-1)/x)=1/(1-x)
полставим (x-1)/x вместо x, получим
f((x-1)/x)+f(x)=(x-1)/x
Сложим первое равенство с последним и вычтем второе, получим
2f(x)=x+(x-1)/x-1/(1-x)
Выяснять, есть ли у этой функции экстремумы мне честно говоря лень... Ну наверное есть.
Ф.
Devourer
Профессионал
8/10/2007, 2:59:16 AM
(Ted_dy @ 09.08.2007 - время: 22:32) Не знаю при чем тут экстремумы. Эту функцию можно просто найти.
f(x)+f(1/(1-x))=x
подставим 1/(1-x) вместо x, получим
f(1/(1-x))+f((x-1)/x)=1/(1-x)
полставим (x-1)/x вместо x, получим
f((x-1)/x)+f(x)=(x-1)/x
Сложим первое равенство с последним и вычтем второе, получим
2f(x)=x+(x-1)/x-1/(1-x)
Выяснять, есть ли у этой функции экстремумы мне честно говоря лень... Ну наверное есть.
Ф.
А экстремумы - чтобы с толку сбить.
f(x)+f(1/(1-x))=x
подставим 1/(1-x) вместо x, получим
f(1/(1-x))+f((x-1)/x)=1/(1-x)
полставим (x-1)/x вместо x, получим
f((x-1)/x)+f(x)=(x-1)/x
Сложим первое равенство с последним и вычтем второе, получим
2f(x)=x+(x-1)/x-1/(1-x)
Выяснять, есть ли у этой функции экстремумы мне честно говоря лень... Ну наверное есть.
Ф.
А экстремумы - чтобы с толку сбить.
Devourer
Профессионал
8/11/2007, 10:09:07 PM
Тогда ещё вот:
Установить взаимно-однозначное отображение (биекцию) отрезка на интервал (-1;+1). То есть указать правило по которому каждому элементу первого множества будет соответствовать единственный элемент другого множества, и наоборот.
Установить взаимно-однозначное отображение (биекцию) отрезка на интервал (-1;+1). То есть указать правило по которому каждому элементу первого множества будет соответствовать единственный элемент другого множества, и наоборот.